Thème 3 : Histoire et épistémologie des mathématiques.

Les équations canoniques dans Sharh al-Urjūza al-yāsiminya d'Ibn al-Hā'im.

Mahdi Abdeljaouad

Dans cette communication nous nous intéressons à Sharh al-Urjūza al-yāsiminya d'ibn al-Hā'im (né au Caire en 1352 et mort à Jérusalem en 1412) qui n'avait pas été éditée jusqu'à présent et dont l'intérêt pédagogique nous a semblé indéniable. Ibn al-Hā'im consacre à la résolution des six équations canoniques un important chapitre de l'introduction de Sharh al-Urjuza, adoptant, sans toutefois le citer directement, la démarche d'Ibn al-Bannā, mais offrant, de plus, au lecteur une présentation systématique, standardisée et exhaustive.

Les algorithmes, preuves et méthodes pour résoudre ces équations sont énoncés dans leur forme la plus générale, puis illustrés par des exemples numériques où les coefficients sont successivement des entiers, des fractions ou un entier augmenté d'une fraction. 

Alors que l'inspiration d'Ibn al-Hā'im pour ces méthodes est multiple, deux méthodes particulières sont exposées d'une manière assez originale. Nous leur consacrerons l'essentiel de la communication :

- la première énonce une technique pour obtenir une équation quadratique dont une racine est rationnelle,

- la seconde, dite de "la racine auxiliaire" (Nadhir al-jidhr), dont on trouve des traces chez al-Karāji, est formalisée dans la Urjuza d'Ibn al-Yāsamin. Elle est parfaitement expliquée et illustrée par Ibn al-Hā'im.

Le raisonnement en arithmétique :

d’une analyse épistémologique à une analyse didactique.

Véronique Battie

A l’articulation entre analyses épistémologique et didactique, notre recherche vise à identifier les potentialités de l’arithmétique pour l’apprentissage du raisonnement mathématique et à étudier l’écologie de celles-ci en particulier à la fin du cursus secondaire français (lors de laquelle les élèves passent l’examen du baccalauréat) où ce champ a été réintroduit depuis peu. Basée sur l’exploitation d’un outil d’analyse issu de notre travail épistémologique, cette recherche est menée à travers l’étude de différents corpus : sujets du baccalauréat, copies d’une épreuve d’entraînement au baccalauréat, transcriptions d’une séance de recherche en groupes en classe de terminale scientifique ainsi que des copies d’étudiant

Jouer de la multiplicité des points de vue.

Renaud Chorlay - Anne Marie Paju 

Les enseignants ont parfois du mal à se détacher du mode de présentation appris pendant leur formation initiale. Nous visons à leur permettre de prendre du recul par rapport aux notions mathématiques en multipliant les points de vue sur elles.

Ce que nous prenons comme postulat : « la multiplicité des points de vue permet l’appropriation d’une notion » s’appuie sur des travaux didactiques (changement de cadres, de registres) et épistémologiques    (Bachelard, Guitart).

Notre projet (actuellement en phase initiale) consiste à réunir une banque de textes historiques aptes à faire surgir ces différents points de vue, assortis d’un commentaire et éventuellement d’exemples d’utilisation en classe.

Implicite et évidence dans les démonstrations mathématiques.

Hilda Rosseel - Maggy Schneider

L’histoire des nombres complexes offre un exemple significatif des distances qui séparent heuristique, théorisation et acceptation d’un concept.  C’est en nous inspirant de cette histoire que nous avons élaboré un projet d’enseignement des nombres complexes, matière au programme de dernière année de l’enseignement secondaire en Belgique.

Les activités que nous proposons aux élèves sont en accord avec l’évolution historique.  Cependant, si notre approche s’inspire des différentes théories développées dans l’histoire (Argand, Wessel et Gauss pour l’aspect géométrique, Cauchy et Hamilton pour le point de vue structurel), elle n’en respecte pas forcément la chronologie.  En effet, elle mêle d’emblée les aspects géométrique, algébrique et trigonométrique de cette matière.

Pour élaborer ce projet, nous avons pris en considération les réserves exprimées par les élèves à l’encontre des nombres complexes, partagées par les mathématiciens dans l’histoire et constituant un obstacle épistémologique.  Considérant que ce dernier s’est résorbé, dans l’histoire, par l’apparition de modèles qui concrétisent ces nombres, nous introduisons ces derniers comme codages symboliques de similitudes directes de centre (0, 0).  Parallèlement, un regard plus algébrique est proposé par l’étude d’un texte historique et par le débat épistémologique qu’il suscite.  Le statut de nombre est enfin octroyé à ces couples en raison des opérations de calcul auxquelles ils se prêtent.